Nach einer kurzen Wiederholung von Holomorphie und ein wenig Intuition zu den Cauchy-Riemann-Gleichungen (s. Foliensatz), besprachen wir Aufgaben 1 bis 3.
Hinsichtlich der Cauchy-Riemann-Gleichungen haben wir auch kurz über konforme Abbildungen geredet, was in Kapitel 6, Aufgabe 2 von Stein, Shakarchi genauer formuliert wird (jetzt aber vielleicht noch nicht unbedingt sauber bewiesen werden kann und dem Vorlesungsstoff vorgreifen würde).
Eine schöne Animation, welche auch kurz gezeigt wurde, findet sich in diesem Youtube-Video.
Zum Ende des Tutoriums besprachen wir noch kurz eine alternative Interpretation der Cauchy-Riemann-Gleichungen, nämlich dass diese sicher stellen, dass die Jacobi-Matrix von \(F\) zu einer komplexen Zahl korrespondiert (mittels des Isomorphismus von Ringen/Körpern \[ \mathbb{R}^{2 \times 2} \ni \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \mapsto a + b \mathrm{i} \in \mathbb{C} \] ). Auch dies ist natürlich nur eine von vielen möglichen Interpretation, s. zum Beispiel auch Wikipedia, stackexchange oder Seiten 143 bis 145 von Wegert - Visual Complex Functions (zugänglich über den Bibliotheks-Login).
Die Voraussetzung von Aufgabe 1 (iii) kann deutlich abgeschwächt werden zu “\(\mathop{\text{Re}}(f)\) beschränkt” statt “\(\mathop{\text{Re}}(f)\) konstant”. Dies ist eine Konsequenz des Satzes von Liouville, welchen wir später in der Vorlesung sehen werden.