Foliensatz

Kurzprotokoll

Es gab auch diese Woche nichts Außergewöhnliches: Nach der Besprechung des Foliensatzes gingen wir direkt zu den Aufgaben über.

Zum Mitnehmen

Aufgabe 2

  • Genau wie es Teleskop-Summen gibt, gibt es auch Teleskop-Produkte und zur Berechnung von Grenzwerten kann es hilfreich sein, ein Produkt zu einem Teleskop-Produkt umzuformen.

Aufgabe 3

  • Eine Klassifizierung der konformen Abbildungen \(U \to V\) kann mithilfe von konkreten konformen Abbildungen auf die Automorphismen bekannter Mengen zurückgeführt werden.
    Hier haben wir beispielsweise die Form von konformen Abbildungen \(f \colon \mathbb{H} \to \mathbb{D}\) bestimmt, indem wir die konforme Abbildung \(G \colon \mathbb{D} \to \mathbb{H}\) aus der Vorlesung vorschalten und hierdurch das Resultat über \(\operatorname{Aut}(\mathbb{D})\) auf \(\tilde{f} = f \circ G\) anwenden können.

Aufgabe 5

Verfahren zum Berechnen der Hadamard-Produktdarstellung einer ganzen Funktion \(f \neq 0\):

  1. Bestimme die Wachstumsordnung \(\rho_0\) von \(f\) und setze \(k = \lfloor \rho_0 \rfloor\).
  2. Bestimme die Nullstellen von \(f\) mitsamt Vielfachheit.

  3. Zu diesem Zeitpunkt kann man folgern, dass \[ f(z) = \mathrm{e}^{P(z)} \underbrace{z^m \prod_{n = 1}^{\infty} E_k\left(\frac{z}{b_n}\right)}_{=: g(z)}, \] wobei \(P\) ein Polynom von Grad \(\le k\), \(m\) die in Schritt 2 bestimmte Ordnung der Nullstelle \(0\) und \((b_n)_{n \in \mathbb{N}}\) die ebenfalls im vorherigen Schritt bestimmte Folge der Nullstellen \(\neq 0\) von \(f\) mitsamt Vielfachheit ist.

    An dieser Stelle kann es sinnvoll sein, das Produkt auf der rechten Seite möglichst weit zu vereinfachen.

  4. Zuletzt muss noch das Polynom \(P\) bestimmt werden. Hier kann es hilfreich sein, \(P(z) = c_0 + c_1 z + \dots + c_k z^k\) zu schreiben und dann zu versuchen, Symmetrien von \(f\) und \(g\) auszunutzen, da für alle \(z \in \mathbb{C} \setminus g^{-1}(\{0\})\) gilt, dass \(\mathrm{e}^{P(z)} = \frac{f(z)}{g(z)}\) (man beachte, dass \(g^{-1}(\{0\})\) aufgrund von \(f \neq 0\) höchstens abzählbar ist).
    In dieser Aufgabe waren beispielsweise die Symmetrien \(f(-z) = f(z)\), \(g(-z) = g(z)\) sowie \(f(\mathrm{i} z) = - \mathrm{e}^{-2 \pi z^2} f(z)\), \(g(\mathrm{i} z) = - g(z)\) hilfreich.

    Am Leichtesten ist oft der konstante Koeffizient \(c_0\), denn für diesen können wir einfach \(\lim_{z \to 0} \frac{f(z)}{z^m}\) betrachten. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz des Produktes in \(g\) in \(\mathbb{D}\) gemäß Proposition 4.3 aus der Vorlesung gilt nämlich \(\lim_{z \to 0} \frac{g(z)}{z^m} = 1\) (das sollte man gegebenenfalls nochmal etwas konkreter nachweisen!). Damit erhält man dann \(\lim_{z \to 0} \frac{f(z)}{z^m} = \mathrm{e}^{P(0)} = \mathrm{e}^{c_0}\) was nach \(c_0\) umgeformt werden kann.

Fun Facts

Gemäß des Weierstraßschen Produktsatzes gibt es zu jeder Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C}\) mit \(\lvert a_n \rvert \to \infty\) eine ganze Funktion, welche genau bei diesen \(a_n\) Nullstellen besitzt. Umgekehrt könnte man sich Fragen, ob man auch Singularitäten anstelle von Nullstellen betrachten könnte, worauf der Satz von Mittag-Leffler eine positive Antwort liefert. Tatsächlich besagt dieser noch mehr (sonst könnte man ja auch einfach \(1/f\) betrachten), denn es können sogar die Hauptteile der Funktion in den \(a_n\)’s vorgeschrieben werden. Das ist ähnlich wie der Weierstraßsche Produktsatz auf gewisse Weise eine Verallgemeinerung von Polynomfaktorisierung ist, eine Verallgemeinerung der Partialbruchzerlegung; man erinnere sich beispielsweise auch an die Partialbruchzerlegung von \(\cot\) aus der Vorlesung (Beispiel 3.9 bzw. Lemma 4.5). Dies wird auch ein wenig mit Bezug auf die Weierstraßsche ℘-Funktion in dem folgenden Klassiker zur Funktionentheorie beschrieben (s. Kapitel IV.3 und eventuell auch noch zu Produkten IV.2):

Natürlich sind die Sätze von Mittag-Leffler und Weierstraß miteinander verwandt, beispielsweise durch logarithmisches Differenzieren.