Foliensatz

Kurzprotokoll

Nach einer kurzen Wiederholung von Holomorphie und ein wenig Intuition zu den Cauchy-Riemann-Gleichungen (s. Foliensatz), besprachen wir Aufgaben 1 und 2. Aufgabe 3 wurde aus Zeitgründen in die Tutorien der darauffolgenden Woche verlegt (die wichtigsten Ideen finden sich jedoch dennoch bereits unten).

Eine schöne Animation zur Holomorphie, über die wir kurz geredet haben, findet sich in diesem Youtube-Video.

Für weitere (von vielen möglichen) Interpretation der Cauchy-Riemann-Gleichungen s. zum Beispiel auch Wikipedia, stackexchange oder Seiten 143 bis 145 von Wegert - Visual Complex Functions (zugänglich über den Bibliotheks-Login).

Zum Mitnehmen

Aufgabe 1

  • Definition von Holomorphie und Cauchy-Riemann-Gleichungen.
  • “Holomorphie ist eine ziemlich restriktive Eigenschaft.”
  • “Komplexe Konjugation und Holomorphie vertragen sich nicht gut.”

Aufgabe 2

  • Das Wurzelkriterium ist “stärker” als das Quotientenkriterium. Für ein Beispiel, das zeigt, dass es wirklich strikt stärker ist, findet sich im Foliensatz.
  • Trick, Ungleichungen iterativ anzuwenden, um Ungleichungen “im Grenzwert” zu beweisen (vgl. z.B. auch Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes, wie er etwa in Forster - Analysis 2 gefunden werden kann).

Aufgabe 3

  • Der Entwicklungspunkt von Potenzreihen kann innerhalb des Konvergenzkreises verschoben werden (unter Anpassung des Konvergenzradius).
  • Binomischer Lehrsatz.
  • Rigoroses Argumentieren beim Vertauschen von Doppelreihen (z.B. Fubini mit Zählmaß (streng genommen in dieser Form eigentlich Pringsheim zuzuschreiben und in gewisser Weise implizit in manchen Beweisen von Fubini verwendet) oder mithilfe von summierbaren Familien, vgl. Königsberger - Analysis 1).

Fun Facts

Die Voraussetzung von Aufgabe 1 (iii) kann deutlich abgeschwächt werden zu “\(\mathop{\text{Re}}(f)\) beschränkt” statt “\(\mathop{\text{Re}}(f)\) konstant”. Dies ist eine Konsequenz des Satzes von Liouville, welchen wir später in der Vorlesung sehen werden.