Foliensatz

Kurzprotokoll

Nach kurzer Besprechung der Präsentation wurden Aufgaben 2 und der erste Teil von Aufgabe 1 besprochen. Der Rest wird in der kommenden Woche zu Beginn des Tutoriums kurz nachgeholt werden (wer möchte, kann schonmal unten ein paar Informationen einsehen oder im später verlinkten Wikipedia-Artikel zum Satz von Green nachlesen).

Zum Mitnehmen

Aufgabe 1

  • Bei Aufgabenteil (i) sind viele verschiedene mögliche Lösungswege ersichtlich: Finden einer Stammfunktion (dies haben wir im Tutorium besprochen), aufteilen der Reihe in Hauptteil und “tail”, majorisierte/dominierte Konvergenz, Fubini oder gleichmäßige Konvergenz von Potenzreihen auf Kreisscheiben innerhalb des Konvergenzkreises. Insgesamt ist wichtig, gut das Verhalten von (Potenz-)Reihen oder allgemeiner von Grenzwerten im Zusammenhang mit Integralen zu verstehen.
  • Standardparametrisierungen \(t z_1 + (1 - t) z_2\), \(t \in [0, 1]\), für die Strecke zwischen \(z_1\) und \(z_2\) sowie \(z_0 + r \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\), \(t \in [a, b]\), für Kreissegmente mit Radius \(r > 0\), zentriert um \(z_0 \in \mathbb{C}\).
  • Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals als Nachweis von Nicht-Holomorphie und Feststellung, dass auch Kurvenintegral nicht-holomorpher Funktionen verschwinden kann.
  • (Mal wieder) binomischer Lehrsatz und \(\mathop{\text{Re}}(z) = \frac{1}{2}(z + \overline{z})\) (merke auch: \(\mathop{\text{Im}}(z) = \frac{1}{2\mathrm{i}}(z - \overline{z})\)).

Aufgabe 2

  • Die Integrale der Funktionen \(z^n\) entlang des Einheitskreises sind extrem wichtig und mehr oder weniger das Herz der Funktionentheorie.
  • Zudem haben wir einige der Sätze aus der Vorlesung bezüglich Stammfunktionen (hauptsächlich Theorem 1.23) für konkrete Integrale angewendet.
  • Auch Partialbruchzerlegung wurde verwendet, welche wir über das Semester hinweg immer wieder gebrauchen werden, weshalb ich empfehlen würde, diese gegebenenfalls einmal zu wiederholen. Eventuell ist für Letzteres auch dieses Dokument aus dem Vorjahr hilfreich, das jedoch ein paar Ausblicke und Anwendungen enthält, die wir erst im späteren Verlauf der Vorlesung genauer kennenlernen werden.

Aufgabe 3

  • In dieser Aufgabe haben wir den Satz von Cauchy bewiesen, einen der zentralen Sätze der Funktionentheorie.
  • Für weitere Informationen zum Satz von Green, auch den Bezug zu den eventuell bekannteren Sätzen von Gauß und Stokes, kann ich den englisch-sprachigen Wikipedia-Artikel sehr empfehlen.
  • Der Jordansche Kurvensatz ist nicht trivial, s. beispielsweise Appendix B im Buch von Stein und Shakarchi.

Fun Facts

Im Tutorium haben wir in Bezug auf Aufgabe 2 darüber geredet, dass das komplexe Kurvenintegrale (für Funktionen, die nett genug sind) letztlich nur Polstellen “sieht”. Dies ist im Wesentlichen die Kernaussage des Residuensatzes, welcher eine starke Verallgemeinerung des Satzes von Cauchy darstellt, und (als vielleicht der Satz schlechthin der Funktionentheorie) später in der Vorlesung bewiesen werden wird.