Tutorium 2

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Foliensatz

Kurzprotokoll

Im Wesentlichen wurde nur die Präsentation durchgegangen und danach die relevanten Aufgaben besprochen.

Zum Mitnehmen

Aufgabe 1

• Viele Eigenschaften des bekannten Integralbegriffs übertragen sich auf Kurvenintegrale, bzw. können aus diesem gefolgert werden.
• Zudem ist bei Kurvenintegralen Intuition oft nicht fehl am Platz (beispielsweise für das Integral entlang der Kurve mit umgekehrter Orientierung).

Aufgabe 2

• Die Integrale der Funktionen \(z^n\) entlang des Einheitskreises sind extrem wichtig und mehr oder weniger das Herz der Funktionentheorie.
• Zudem haben wir einige der Sätze aus der Vorlesung bezüglich Stammfunktionen (hauptsächlich Theorem 1.23) für konkrete Integrale angewendet.

Aufgabe 3

• In dieser Aufgabe haben wir den Satz von Cauchy bewiesen, einen der zentralen Sätze der Funktionentheorie.
• Für weitere Informationen zum Satz von Green, auch den Bezug zu den eventuell bekannteren Sätzen von Gauß und Stokes, kann ich den englisch-sprachigen Wikipedia-Artikel sehr empfehlen.
• Der Jordansche Kurvensatz ist nicht trivial, s. beispielsweise Appendix B im Buch von Stein und Shakarchi.

Fun Facts

Im Tutorium haben wir in Bezug auf Aufgabe 2 darüber geredet, dass das komplexe Kurvenintegrale (für Funktionen, die nett genug sind) letztlich nur Polstellen “sieht”. Dies ist im Wesentlichen die Kernaussage des Residuensatzes, welcher eine starke Verallgemeinerung des Satzes von Cauchy darstellt, und (als vielleicht der Satz schlechthin der Funktionentheorie) später in der Vorlesung bewiesen werden wird.