Tutorium 7

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Foliensatz

Kurzprotokoll

Wir haben zu Beginn den Foliensatz (s.o.) besprochen. Dabei haben wir auch kurz über das Verhalten holomorpher Funktionen mit wesentlichen Singularitäten gesprochen, wofür es eine kurze Einführung in die Visualisierung komplexer Funktionen mittels domain coloring¹ gab. Im Kontext dessen haben wir über die Abbildung auf Seite 5 des folgenden Buches geredet (im Wesentlichen den Text, welcher diese beschreibt):

• Wegert, E. (2012). Visual Complex Functions. Springer Basel.

Zuletzt haben wir auch noch ganz kurz diese Abbildung von Wikipedia betrachtet, bei welcher die wesentliche Singularität der Funktion \(z \mapsto \exp(1/z)\) schön zum Vorschein kommt.

Zum Mitnehmen

Aufgabe 2

“Grenzwert-Verfahren”, um eine isolierte Singularität \(z_0\) von \(f\) zu klassifizieren²:

• Existiert \(\lim_{z \to z_0} \lvert f(z) \rvert\) und ist endlich, so ist \(z_0\) eine hebbare Singularität von \(f\). Es reicht auch, dass \(\lvert f(z) \rvert\) nahe \(z_0\) beschränkt ist, um die Existenz des Grenzwertes zu garantieren. (Man sollte sich hier überlegen, wie diese beiden Aussagen aus dem Riemannschen Hebbarkeitssatz folgen. Die Ideen sind letztendlich die selben wie in Aufgabe 4.)
• Existiert \(\lim_{z \to z_0} \lvert f(z) \rvert\) und ist gleich \(\infty\), so besitzt \(f\) bei \(z_0\) eine Polstelle. Um die Ordnung zu bestimmen, kann man entweder das kleinste \(n \in \mathbb{N}\) finden, sodass \(\lim_{z \to z_0} \lvert z - z_0 \rvert^n \lvert f(z) \rvert < \infty\), welches dann die Ordnung der Polstelle ist oder äquivalent hierzu das kleinste \(n \in \mathbb{N}\), für welches \(\lim_{z \to z_0} \frac{1}{(z - z_0)^n f(z)} \neq 0\) gilt. Natürlich kann man hier auch auf etwas andere Arten argumentieren, beispielsweise indem man das einzige \(n\) findet, welches \(0 \neq \lim_{z \to z_0} \lvert z - z_0 \rvert^n \lvert f(z) \rvert < \infty\) erfüllt, was dann wiederum das kleinste \(n\) ist, das letztere Ungleichung erfüllt.
• Existiert \(\lim_{z \to z_0} \lvert f(z) \rvert\) nicht, so liegt eine wesentliche Singularität bei \(z_0\) vor.

Ähnlich wie man bei der Berechnung von Grenzwerten mit \(\epsilon\)-Kriterium oft zuerst mit heuristischen Methoden eine Vermutung über den Wert des Grenzwertes stellen muss, um dann rigoros diese Vermutung zu beweisen, eignen sich bei Aufgaben wie dieser derartige Herangehensweisen, insbesondere um die Ordnung von Polstellen zu bestimmen. Zwei mögliche solche Herangehensweisen wären hierbei:

1. Persönlich finde ich Laurent-Reihen recht hilfreich, beispielsweise für Aufgabe (ii) mit \(z \mapsto \sin\left(\frac{1}{z}\right)\). Allerdings habe ich den Eindruck, dass rigorose Beweise mit diesen gelegentlich etwas umständlich werden, wohingegen sie manchmal so gut wie sofort indizieren können, was für eine Singularität vorliegt. Beispielsweise kann man sich mit diesen sehr schnell überlegen, dass wenn \(f\) eine wesentliche Singularität bei \(z_0\) und \(g\) dort eine Polstelle hat, \(f g\) ebenfalls eine wesentliche Singularität bei \(z_0\) besitzt.
2. Zählen von Null- und Polstellen des Zählers und Nenners (z. B. “\(f\) hat Nullstelle der Ordnung \(1\) bei \(z_0\), \(g\) hingegen der Ordnung \(3\), also hat \(\frac{f}{g}\) eine Polstelle der Ordnung \(3 - 1 = 2\)”). Das deckt eigentlich alle drei anderen Teilaufgaben ab.

Aufgabe 3

• Hat \(f\) eine Polstelle der Ordnung \(n\) bei \(z_0\), so hat \(f'\) eine Polstelle der Ordnung \(n + 1\) bei \(z_0\) (Beweis beispielsweise mittels Laurententwicklung oder der anderen Darstellung aus Lemma 3.2). Eine analoge Aussage gilt natürlich auch für Nullstellen.
• Möchte man eine Aussage über eine unspezifizierte isolierte Singularität beweisen, bietet sich eine Fallunterscheidung in die drei Fälle “hebbare Singularität”, “Polstelle” und “wesentliche Singularität” sehr gut an.

Aufgabe 4

• Wiederholung der für die Aufgabe relevanten Begriffe und des Riemannschen Hebbarkeitssatzes.

Fun Facts

Hinsichtlich isolierter Singularitäten wären zwei mögliche Fun Facts die Nicht-Existenz einer ganzen Wurzelfunktion mithilfe des Riemannschen Hebbarkeitssatzes (s. beispielsweise hier) oder natürlich der große Satz von Picard, welcher eine starke Verallgemeinerung des Satzes von Casorati-Weierstraß darstellt: das Bild einer Umgebung einer wesentlichen Singularität liegt nicht nur dicht in \(\mathbb{C}\), sondern beinhaltet sogar bis auf höchstens eine Ausnahme jede komplexe Zahl unendlich oft.

Es gab allerdings noch eine weitere Aufgabe auf dem Übungsblatt, welche sich gut für einen Fun Fact eignet, nämlich Aufgabe 5.

Hier war ja eine holomorphe Funktion mit zwei \(\mathbb{C}\)-linear unabhängigen Perioden (nämlich \(1\) und \(\mathrm{i}\)) gegeben. Im Allgemeinen heißt eine solche meromorphe Funktion elliptisch (manche Autoren schließen zusätzlich noch konstante Funktionen aus, allerdings bilden dann die elliptischen Funktionen mit gleichen Perioden keinen Körper). Letztendlich bestand Aufgabe 5 darin, den ersten Satz von Liouville zu beweisen: Jede holomorphe elliptische Funktion ist konstant.

Dies ist die ursprüngliche Form des Satzes, welchen wir als Satz von Liouville kennengelernt haben und welche von Liouville im Jahr 1844 verkündet wurde. Er veröffentlichte allerdings keinen Beweis und gab stattdessen nur Privatvorlesungen hierzu. Cauchy bewies die allgemeinere Variante für beschränkte ganze Funktionen und deutete an, er wäre bereits seit 1831 im Stande gewesen, dies zu tun. Was folgte, war eine Kontroverse über den rechtmäßigen Entdecker des Satzes, die sich noch über die folgenden Jahre erstreckte, wie in Kapitel 11 des folgenden Buches (was auch die Quelle für die zuvor geschilderte Geschichte ist) nachgelesen werden kann:

• Gray, J. (2015). The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century. In Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer International Publishing.